Unidad+4

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 * Lógica **

=Introducción=

La Lógica es la parte de la Filosofía que estudia el razonamiento. Más concretamente, la Lógica estudia:
 * 1) Cómo definir el concepto de **consecuencia lógica**
 * 2) Las **formas** de los razonamiento válidos
 * 3) Los métodos que permiten **distinguir** a los razonamientos válidos de los inválidos
 * 4) Las **falacias** lógicas


 * Aristóteles** (siglo IV a.C.) fue el primer filósofo que estudió detalladamente el razonamiento, encontrando formas de razonamiento válido.

Razonamientos
¿Qué es un razonamiento? Un razonamiento es un tipo de //composición lingüística//, es una construcción hecha en el lenguaje. Por tanto un razonamiento es algo que se dice o que se escribe en una lengua concreta.

Sin embargo, no todas las composiciones lingüísticas son razonamientos. Veamos algunos ejemplos:

¿Qué tienen en común los razonamientos de la columna izquierda?
 * = **Razonamiento** ||= **Composición no argumentativa** ||
 * //1. Hay números pares y números impares. Hay números divisibles por tres. Así que hay números divisibles por tres pares y otros impares.// || //Los barcos son más lentos que los aviones, pero el billete es más barato. Me gusta viajar en barco.// ||
 * //2. Si viajo a la Luna, me dejaré barba. Si me dejo barba, me confundirán con un cactus. Por tanto, si viajo a la Luna me confundirán con un cactus.// || //¿Viajaré algún día a la Luna? ¿Y si viajo, me afeitaré o me dejaré barba? Cuando me dejo barba parezco un cactus.// ||
 * //3. Todos los gatos saben multiplicar y además algunos saben hacer paellas. Luego hay quien sabe multiplicar y también hacer paellas.// || Me gusta tanto la paella que ojalá mi gato supiera hacerlas. Pero antes de enseñarle, tengo que aprender a multiplicar. ||
 * //4. Si 7 > 3 y 1 > 5 entonces 7 + 1 = 3 + 5// || El dos es mayor que el uno. ||
 * Las oraciones que forman la composición se dividen en dos grupos: algunas oraciones son el punto de partida, el apoyo, para otra oración que es el resultado de las anteriores:
 * **Premisas**: enunciados que sirven de base para la
 * **Conclusión**: enunciado que se afirma tras haber afirmado las premisas
 * El objetivo de un razonamiento es convencer a quien lo recibe de una conclusión mediante una exposición de afirmaciones que, //si se aceptan//, llevan a aceptar dicha conclusión. Esta aceptación depende de dos factores:
 * La **verdad** de las premisas. Si partimos de información falsa, no tenemos confianza en que la conclusión sea verdadera, aunque puede serlo como sucede en los ejemplos 3 y 4.
 * La **forma** del razonamiento. No basta con partir de información verdadera. Si la forma en que combinamos esas verdades no es válida, la conclusión puede no ser verdadera, como sucede en el ejemplo 1.

Razonamientos válidos e inválidos
Estudia estas tres parejas de razonamientos. En cada uno, las oraciones 1. y 2. son sus premisas y 3. su conclusión:
 * # Pedro es hombre
 * 1) Los hombres son mortales
 * 2) Pedro es mortal || # Dumbo es inteligente
 * 3) Los elefantes son inteligentes
 * 4) Dumbo es elefante ||
 * # Las ballenas son mamíferos
 * 1) Los mamíferos son cordados
 * 2) Las ballenas son cordados || # Los banqueros son gente seria
 * 3) La gente de fiar es gente seria
 * 4) Los banqueros son gente de fiar ||
 * # Tengo coche o tengo moto
 * 1) No tengo coche
 * 2) Tengo moto || # Pepe es fontanero o carpintero.
 * 3) Pepe es carpintero
 * 4) Pepe no es fontanero ||
 * ¿Por qué son **válidos** estos razonamientos?

¿Por qué si aceptamos 1. y 2. **tenemos** que aceptar también 3.?

Busca una explicación a por qué son válidos estos y **cualquiera otros** con la misma forma. || ¿Por qué **no** son **válidos** estos razonamientos **ni cualquiera otros** con esa misma forma?

¿Por qué aunque aceptemos 1. y 2. **no tenemos** por qué aceptar también 3.? ||

Deducción e inducción
Los ejemplos anteriores son ejemplos de razonamientos deductivos. Hay sin embargo otro tipo muy diferente de razonamientos, los razonamientos inductivos. La diferencia clave entre unos y otros puede extraerse de la siguiente comparación:

Las diferencias son:
 * = **Razonamientos deductivos** ||= **Razonamientos inductivos** ||
 * O compro una casa o la alquilo, pero como no hay alquileres disponibles, compraré. || El 90% de las personas prefiere comprar a alquilar. Pedro necesita una casa. Muy probablemente Pedro comprará una casa. ||
 * Todos los accidentes tienen una causa y ninguna causa puede achacarse a los dioses. Por tanto, ningún accidente puede achacarse a los dioses. || Dos de cada tres murciélagos transmiten la rabia, pero sólo uno de cada 100 transmite el VIH. Por tanto, ningún murciélago de esta cueva transmite ambas enfermedades. ||
 * En los razonamientos deductivos, la conclusión se sigue //necesariamente// (con 100% de probabilidad) de la verdad de las premisas. Por el contrario, en los razonamientos inductivos la conclusión tiene un grado de probabilidad //inferior a la certeza// completa.
 * En los razonamientos inductivos, todas o al menos alguna de las premisas son //probables// pero no ciertas, mientras que en los razonamientos deductivos se afirman //categóricamente// las premisas.

En esta unidad nos centraremos exclusivamente en los razonamientos deductivos.

Razonamiento informal y formal
Ejemplo. Considera esta información:
 * 1) Homer, Lenny y Carl trabajan en la central nuclear de Springfield.
 * 2) Si tanto Homer como Lenny ponen atención, el reactor es estable.
 * 3) Homer está atento cuando hay donuts o cuando le vigila Smithers.
 * 4) Lenny pone atención si la pone Carl.
 * 5) Carl está atento cuando le vigila Smithers.
 * 6) Hay donuts los lunes y los jueves.
 * 7) Smithers vigila a Homer y a Lenny los lunes y los viernes; a Carl los martes y jueves.
 * 8) Homer es amigo de Carl y de Lenny pero no de Smithers.
 * 9) Hoy es jueves.
 * 10) Mr. Burns dirige la central nuclear de Springfield y es el jefe de todos los que trabajan en ella.
 * 11) Moe no trabaja en la central pero trabaja en "Moe's".
 * 12) "Moe's" es un bar.
 * 13) Homer, Lenny, Carl y Bernie son clientes habituales de "Moe's".
 * 14) Bernie pasa el día en "Moe's"
 * 15) Todos los clientes de "Moe's" son amigos de Bernie.
 * 16) Todo aquel que pase el día en un bar no trabaja en nada y es cliente habitual de ese bar.
 * 17) Ningún trabajador de la central es amigo de Mr. Burns.
 * 18) Smithers trabaja en la central de Springfield vigilando a todos los trabajadores de la central.
 * 19) Homer es amigo de Burns o Smithers.

Y ahora trata de responder a estas preguntas:
 * ¿Hay donuts hoy?
 * ¿Es estable el reactor?
 * ¿Es Homer amigo de Bernie?
 * ¿Es Mr. Burns jefe de Moe?
 * ¿Quién vigila a Smithers?
 * ¿Es Homer amigo de Burns?

¿Cómo has logrado las respuestas? ¿Qué otros datos puedes deducir de la información dada?

Es claro que todos podemos razonar, extraer conclusiones de lo que ya sabemos. Sin embargo, es fácil cometer errores en el razonamiento cuando no seguimos reglas que nos //garanticen// la corrección de nuestras deducciones. La Lógica es la disciplina filosófica encargada de hallar esas reglas.

=La lógica de clases=

Hay muchas formas de razonar correctamente. El grupo más sencillo o intuitivo de aprender de formas de razonamiento deductivo válido es el de la lógica de clases. El primer teórico de la Lógica, Aristóteles, estudió estas formas de razonamiento.

Conceptos básicos de la lógica de clases
Los **conceptos básicos** o **no definidos** de la lógica de clases son:
 * El concepto de **elemento** u objeto individual: cualquier "cosa" que podamos tratar como algo individual y diferente del resto de "cosas".
 * El concepto de **conjunto**: cualquier agrupación de elementos, incluyendo la agrupación vacía.
 * El concepto de **pertenencia** de un elemento a un conjunto.

Símbolos y fórmulas
Para escribir las fórmulas de la lógica de clases, emplearemos los siguientes **símbolos**:
 * **Concepto** || **Símbolo** ||
 * = Elementos ||= **a**, **b**, **c**, ... ||
 * = Conjuntos o Clases ||= **A**, **B**, **C**, ... ||
 * = Pertenencia ||= **∈** ||
 * = No Pertenencia ||= **∉** ||
 * = Conjunto vacío ||= **Ø** ||
 * = Inclusión ||= **⊆** ||
 * = Intersección ||= **∩** ||
 * = Diferencia ||= **−** ||
 * = Igual ||= **=** ||
 * = No igual ||= **≠** ||

Podemos definir un conjunto o clase de dos maneras:
 * **Extensivamente**, enumerando a todos sus miembros. Por ejemplo, el conjunto de los días de la semana: A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
 * **Intensivamente**, dando una regla que deben cumplir sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales mayores de cero: A = {a| a > 0}

Mediante el concepto de pertenencia y el desigualdad podemos definir nuevos conjuntos a partir de otros conjuntos ya definidos. Por ejemplo, podemos definir el conjunto de los días laborables (B) a partir del conjunto de los días de la semana (A): B = {a| a ∈ A y a ≠ sábado y a ≠ domingo} También podemos definir B de manera extensiva: B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}

Conceptos derivados o definidos
Empleando los conceptos básicos de la lógica de clases, podemos definir los siguientes **conceptos derivados:**
 * **Inclusión** entre dos conjuntos
 * El conjunto A está incluido en el conjunto B cuando todos los elementos miembros del conjunto A son también miembros del conjunto B.
 * En símbolos: **A ⊆ B es verdadero si y sólo si para todo elemento //a//: si a ∈ A, entonces a ∈ B**
 * Una definición alternativa y equivalente sería: **A ⊆ B es verdadero si y sólo si no existe ningún elemento //a//: a ∈ A y a ∉ B**
 * **Intersección** entre dos conjuntos
 * La intersección de dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por aquellos elementos miembros de A y de B
 * En símbolos: **A ∩ B = {a| a ∈ A y a ∈ B}**
 * **Diferencia** entre dos conjuntos
 * La diferencia entre dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos de A que no son miembros de B
 * En símbolos: **A − B = {a| a ∈ A y a ∉ B}**
 * Empleando el concepto de diferencia podemos dar otra definición equivalente de inclusión y que para lo que sigue es más conveniente:
 * El conjunto A está incluido en el conjunto B cuando la diferencia del primero menos el segundo es el conjunto vacío
 * En símbolos: **A ⊆ B es verdadero si y sólo si A − B = Ø**

Representación de enunciados
Empleando los conceptos básicos y derivados de la lógica de clases podemos representar el significado de los enunciados que componen los razonamientos de la lógica de clases mediante **fórmulas** y **diagramas**. Esto nos permite:
 * Expresar de forma más precisa y concisa el significado de los enunciados.
 * Demostrar la validez o invalidez de los razonamientos.
 * = **Enunciados** ||= **Fórmulas** ||= **Diagramas** ||
 * Ejemplos:

//Todos los gatos son felinos//

//Las guerras son sucesos históricos//

//El lobo es carnívoro// ||= ·


 * A ⊆ B**

o //**mejor**//


 * A − B = Ø** || [[image:Diagrama_A.png width="264" height="171" caption="El sombreado indica zona vacía de elementos"]] ||
 * Ejemplos:

//Ninguna bacteria es un organismo pluricelular//

//No hay ningún camarero simpático//

//Nadie con sentido común bebe ron//

//No existen hombres inmortales// ||= ·


 * A ∩ B = Ø** || [[image:Diagrama_E.png width="272" height="186" caption="El sombreado indica zona vacía de elementos"]] ||
 * Ejemplos:

//Algunos barcos tienen velas//

//Hay camareros simpáticos//

//Existen estrellas rojas//

//Pedro es un hombre con suerte// ||= ·


 * A ∩ B ≠ Ø** || [[image:Diagrama_I.png caption="La cruz indica zona no vacía de elementos"]] ||
 * Ejemplos:

//Algunas personas no son afortunadas//

//Hay hombres sin suerte//

//Existen aviones que no tienen motor//

//Juan es un hombre sin suerte// ||= ·


 * A − B ≠ Ø** || [[image:Diagrama_O.png caption="La cruz indica zona no vacía de elementos"]] ||

Representación de razonamientos
Una vez tenemos las herramientas para formular y representar gráficamente los enunciados, podemos pasar a representar razonamientos. Esta representación debe servir para decidir cuándo un razonamiento es válido y cuándo no lo es. Consideremos la siguiente pareja de argumentos:
 * 1) //Todos los elefantes son equilibristas. Dumbo no es equilibrista. Luego Dumbo no es un elefante.//
 * 2) //Todos los paranoicos son portadores del gen IGF2. Horacio no es portador del gen IGF2. Luego Horacio no es un paranoico.//

¿Nos convencen los argumentos? ¿Consideramos que las conclusiones son verdaderas //si aceptamos como verdaderas las premisas//? ¿Nos convence uno de los dos pero no el otro? Quizá no nos convencen, pero acaso sea debido a que algunas de las premisas son falsas o al menos no estamos seguros de que sean verdaderas. Si nos fijamos en la //forma//, en la //estructura// de los argumentos y no en su //contenido//, en su //materia//, veremos que ambos argumentos tienen la **misma forma**. ¿Cuál es la **forma común** de esta pareja de argumentos? En ambos argumentos hay dos conjuntos y un individuo, un elemento. Las fórmulas son las siguientes:
 * = **Enunciados** ||= **Fórmulas** ||= **Diagramas** ||
 * //Todos los elefantes son equilibristas//

//Todos los paranoicos son portadores del gen IGF2// ||= **A − B = Ø**

A: elefantes; paranoicos

B: equilibristas; portadores de IGF2 || ||
 * //Dumbo no es equilibrista//

//Horacio no es portador del gen IGF2// ||= **a ∉ B**

a: Dumbo; Horacio || ||
 * //Dumbo no es un elefante//

//Horacio no es un paranoico// ||= **a ∉ A**

a: Dumbo; Horacio || || A la vista de estas fórmulas y diagramas, la pregunta clave es: O dicho al revés:
 * ¿si las dos primeras fórmulas son verdaderas, lo es también **necesariamente** la tercera?
 * ¿si las situaciones que se dibujan en los dos primeros diagramas son ciertas, lo es también **necesariamente** cierta la tercera?
 * ¿Es **posible** que las dos primeras fórmulas sean verdaderas y la tercera falsa?
 * ¿Es **posible** que las cosas sean como se dibujan en los dos primeros diagramas pero no suceda lo que dibuja el tercero?

Un modo de responder a estas preguntas es dibujar en //un solo diagrama// las dos premisas y, //sin dibujar la conclusión//, comprobar que lo que la conclusión dice **está ya dibujado** por haber dibujado las premisas: //Todos los paranoicos son portadores del gen IGF2//
 * = **Enunciados** ||= **Fórmulas** ||= **Diagramas** ||
 * //Todos los elefantes son equilibristas//

//Dumbo no es equilibrista// //Horacio no es portador del gen IGF2//

//Conclusión://

//Dumbo no es un elefante// //Horacio no es un paranoico// ||= ·
 * A − B = Ø**


 * a ∉ B**

· Debido a que el elemento //**a**// debe estar fuera de **//B//** según se indica en la segunda premisa, y a que la zona de //**A**// fuera de B (A - B) está vacía según indica la primera premisa, es //necesario// que **//a//** esté también fuera de A, al dibujar el elemento a fuera de B, necesariamente lo dibujamos también fuera de A. Por tanto, hacer verdaderas las premisas conlleva //necesariamente// hacer verdadera a la conclusión. Queda así demostrado que ambos razonamientos, y en general cualquier razonamiento que se ajuste a esta forma, son //razonamientos válidos//. Expresado con símbolos: **{ A − B = Ø, a ∉ B } |= a ∉ A** El símbolo **|=** representa al concepto de **consecuencia lógica**: la consecuencia lógica es una relación entre un conjunto de fórmulas (premisas) y otra fórmula (consecuencia) tal que se cumple que //**si**// todas las fórmulas del conjunto de premisas son verdaderas, **//entonces//** la fórmula consecuencia es necesariamente verdadera. O dicho de otro modo: **{P1, P2, ... Pn} |= C** si y sólo si es //imposible// que **P1, P2, ... Pn sean verdaderas y C sea falsa**. Por el contrario, **no** existe relación de consecuencia lógica entre un conjunto de premisas y una conclusión cuando es posible que las primeras sean verdaderas y la última falsa. Expresado en símbolos: **{P1, P2, ... Pn} |≠ C** si y sólo si es //posible// que **P1, P2, ... Pn sean verdaderas y C sea falsa**
 * a ∉ A** || [[image:Diagrama_Ao.png caption="Hay un elemento fuera de B y fuera de la zona sombreada"]] ||

Como ejemplo de razonamiento //inválido//, veamos el siguiente:
 * //Todos los caballos son herbívoros. Bambi no es un caballo. Por tanto, Bambi no es herbívoro.//


 * = **Enunciados** ||= **Fórmulas** ||= **Diagramas** ||
 * //Todos los caballos son herbívoros//

· //Bambi no es un caballo//

//·// //Conclusión:// //Bambi no es herbívoro// ||= **A − B = Ø**

A: caballos B: herbívoros


 * a ∉ A**

a: Bambi

El elemento **//a//** debe estar situado fuera del conjunto //**A**// para hacer cierta a la segunda premisa, pero nada impide que se encuentre dentro de //**B**// (las cruces verdes) o fuera de B (las cruces rojas). Si sucediera que estuviese fuera de B, entonces la conclusión sería verdadera. Pero si sucediera que estuviese dentro de B, entonces la conclusión sería falsa. Por tanto, es //posible// hacer verdaderas ambas premisas y hacer falsa la conclusión. No hay relación de consecuencia lógica, en símbolos:
 * a ∉ B** || [[image:Diagrama_Ao_bis.png]] ||

**{ A − B = Ø, a ∉ A } |≠ a ∉ B**

Demostración gráfica de la validez o invalidez de un razonamiento
En los ejemplos anteriores de razonamientos, aparecían dos conjuntos y un elemento. Mediante la representación gráfica de las fórmulas que expresan el significado de las oraciones, hemos podido demostrar que uno era un razonamiento válido mentras que el otro era inválido.

La representación gráfica de los enunciados que intervienen en un razonamiento es una técnica que también puede emplearse para demostrar si un razonamiento en el que intervienen tres conjuntos es válido o inválido. Los pasos a dar son los siguientes:
 * 1) Expresar el significado de los enunciados que forman el razonamiento con fórmulas de la lógica de clases.
 * 2) Representar gráficamente las premisas del razonamiento, //solamente// las premisas, **no** la conclusión.
 * 3) A la vista del diagrama resultante
 * 4) Si la conclusión se encuentra //ya representada// en el diagrama por haber representado las premisas, el razonamiento es **válido**.
 * 5) Si es posible //no representar// la conclusión pero sí las premisas, el razonamiento es **inválido**.

Ejemplos de aplicación:


 * = **Enunciados** ||= **Fórmulas** ||= **Diagramas** ||
 * //Ningún cometa tiene un núcleo metálico//

//Algunos asteroides tienen un núcleo metálico//

//Algunos asteroides no son cometas// ||= **C ∩ N = Ø**


 * A ∩ N ≠ Ø**


 * A − C ≠ Ø** || [[image:Diagrama_Ferio.png width="319" height="275" caption="La fórmula conclusión está representada al representar las premisas. El razonamiento es válido."]] ||
 * //Todas las guerras tienen una causa//

//Algunos enfrentamientos no son guerras//

//Algunos enfrentamientos tienen una causa// ||= **G − C = Ø**


 * E − G ≠ Ø**

En el primer ejemplo, la representación gráfica de las dos premisas **C ∩ N = Ø** y **A ∩ N ≠ Ø**, lleva sin más a representar la conclusión **A − C ≠ Ø**. No es posible representar las premisas y no representar al mismo tiempo la conclusión. Es decir, el razonamiento es válido y existe relación de consecuencia: **{ C ∩ N = Ø, A ∩ N ≠ Ø } |= A − C ≠ Ø** Sin embargo, en el segundo ejemplo la representación gráfica de las dos premisas **G − C = Ø** y **E − G ≠ Ø**, no lleva necesariamente a representar la conclusión **E ∩ C ≠ Ø**. El elemento puede estar en una de dos zonas, en una de ellas se representa la conclusión, en la otra no. Es decir, el razonamiento es inválido y no existe relación de consecuencia: **{ G − C = Ø, E − G ≠ Ø } |≠ E ∩ C ≠ Ø**
 * E ∩ C ≠ Ø** || [[image:Diagrama_Ferio_B.png width="319" height="275" caption="Es posible representar la 2ª premisa y que la conclusión no quede representada si el elemento se coloca fuera de la intersección (cruz roja). El argumento es inválido."]] ||

Ejercicios de lógica de clases
En cada uno de los siguientes ejercicios: Rex es un pastor alemán Los pastores alemanes son leales Por tanto, Rex es leal || 1b. Todos los planetas son esféricos Mercurio es un planeta Por tanto, Mercurio es esférico || Todas las catedrales son monumentos El Acueducto de Segovia es un monumento Por tanto, el Acueducto de Segovia es una catedral || 2b. Pedro es una persona Todos los españoles son personas Por tanto, Pedro es español || Pedro y Antonio son grandes profesores Cualquier gran profesor es capaz de enseñar Por tanto, Pedro y Antonio son capaces de enseñar || 3b. Las estrellas de cine son famosas Penélope Cruz y Javier Bardem son estrellas de cine Por tanto, Penélope Cruz y Javier Bardem son famosos || Todas las plantas son seres vivos Todos los seres vivos son mortales Por tanto, todas las plantas son mortales || 4b. Todos los metales conducen la electricidad Todos los metales alcalinos son metales Por tanto, todos los metales alcalinos conducen la electricidad || Traqueofitas y briofitas son plantas Espermatofitas y pteridofitas son traqueofitas Por tanto, espermatofitas y pteridofitas son plantas || 5b. Las angiospermas son espermatofitas Las gimnospermas son espermatofitas Por tanto, las angiospermas son gimnospermas || Algunos bolígrafos escriben bien Todos los bolígrafos son herramientas Por tanto, algunas herramientas escriben bien || 6b. Cualquier herramienta es útil Algunas herramientas son caras Por tanto, algunas cosas caras son útiles || Los leones son fieros Algunos animales de circo son leones Por tanto, algunos animales de circo son fieros || 7b. Algunos sinvergüenzas son simpáticos Los simpáticos son gente que cae bien Por tanto, algunos sinvergüenzas son gente que cae bien || Todos los árboles son inflamables Algunas rocas son inflamables Por tanto, algunas rocas son árboles || 8b. Todas las piedras preciosas son valiosas Algunas monedas antiguas son valiosas Por tanto, algunas monedas antiguas son piedras preciosas || Algunas personas son ricas Todos los millonarios son ricos Por tanto, algunas personas son millonarias || 9b. Las infecciones son enfermedades Algunas enfermedades son mortales Por tanto, algunas infecciones son mortales || Ningún hombre es inmortal Los dioses son inmortales Por tanto, ningún hombre es un dios || 10b. Ninguna rata es capaz de volar Todas las águilas son capaces de volar Por tanto, ninguna rata es un águila || Todas las mesas son muebles Ningún mueble es comestible Por tanto, ninguna mesa es comestible || 11b. Todas las baldosas son cuadradas Ningún anillo es una baldosa Por tanto, ningún anillo es cuadrado || Ninguna pizza es deliciosa Todo lo comestible es delicioso Por tanto, ninguna pizza es comestible || 12b. Los nacidos en Marte son marcianos Nadie que sea español es marciano Por tanto, nadie que sea español es nacido en Marte || Hay jugadores compulsivos Todos los jugadores son supersticiosos Por tanto, hay personas supersticiosas y compulsivas || 13b. Todos los gatos cazan ratones Algunos gatos son domésticos Por tanto, algunos animales que cazan ratones son domésticos || Todas las ratas son roedores Algunos roedores están rabiosos Por tanto, algunas ratas están rabiosas || 14b. Batman y Robin son dos superhéroes con máscara Todo valiente es un superhéroe Por tanto, Batman y Robin son valientes || Hay piedras preciosas Ninguna piedra es comestible Por tanto, hay comestibles que no son preciosos || 15b. Ningún marsupial es ovíparo Algunos marsupiales son carnívoros Por tanto, algunos carnívoros no son ovíparos || Todos los inventos son útiles Ningún refrán es útil Por tanto, ningún refrán es un invento || 16b. Ningún tubérculo es venenoso Las patatas son tubérculos Por tanto, ninguna patata es venenosa || Ningún bogavante es cantante Todo cantante tiene buena voz Por tanto, ningún bogavante tiene buena voz || 17b. No hay quien crea en Visnu y no sea hinduista Algunos budistas creen en Visnu Por tanto, hay quien cree en Visnu, es budista y además hinduista || Las nevadas son maravillosas Hay tormentas que no son maravillosas Por tanto, hay tormentas que no son nevadas || 18b. Existen retrovirus que no son deltaretrovirus Ninguna bacteria es un retrovirus Por tanto, hay retrovirus que no son bacterias || Nadie está soltero y casado a la vez Hay casados felices Por tanto, hay personas felices que no están solteras || 19b. Los protestantes son cristianos Los calvinistas son protestantes Juan Calvino es calvinista Por tanto, Juan Calvino es cristiano || Mariano es rico y poderoso Ningún rico llora Por tanto, hay poderosos que no lloran || 20b. No hay vida sin esperanza Hay esperanza más allá de la muerte Por tanto, hay vida más allá de la muerte || Todas las guerras son condenables Ninguna guerra es divertida Por tanto, nada divertido es condenable || 21b. Cualquier corbata es vistosa Todas las corbatas tienen colores Así pues, las cosas vistosas tienen colores || Las casas son viviendas Algunas casas no son palacios Por tanto, hay viviendas que no son palacios || 22b. Hay piedras preciosas Ninguna piedra tiene plumas Nada que tenga plumas es precioso || No hay cargas positivas y negativas Hay iones cargados negativamente Por tanto, hay iones que no están cargados positivamente || 23b. Algunas películas no son un éxito Todas las películas cuestan dinero Algunas cosas que cuestan dinero no son un éxito || Barcelona es una ciudad catalana No hay islas catalanas Por tanto, hay ciudades que no son islas || 24b. Witiza es un rey godo Todos los godos son paganos Existe al menos un rey pagano || Todos los vascos son españoles, y éstos europeos Andoni Iraola es vasco y Lionel Messi es argentino Los argentinos son americanos Ningún europeo es americano Por tanto, hay europeos que no son americanos y hay americanos que no son europeos. || Ni todos los calvos son atractivos ni todas las personas atractivas son famosas Bruce Willis es calvo, atractivo y famoso Por tanto, hay personas famosas que son calvas y hay otras que no lo son. || Algunos primates no son chimpancés Algunos primates saben fumar Por tanto, algunos chimpancés saben fumar || 27b. Koko es un gorilla inteligente Quien es inteligente sabe comportarse en sociedad Hay gorilas que saben comportarse en sociedad || Todos los políticos tienen algo que ocultar Algunos políticos salen en televisión Por tanto, hay quienes tienen algo que ocultar pero salen en televisión || Todos los padres tienen hijos Ningún mulo es padre Por tanto, ningún mulo tiene hijos || 29b. Hay quien vive y deja vivir Hay quien vive y no deja vivir Ningún ser vivo es indestructible Por tanto, hay quienes dejan vivir sin ser indestructibles || Ningún monstruo tiene sentido del humor Todos los vampiros son monstruos Drácula es un vampiro Por tanto, Drácula no tiene sentido del humor || 30b. No todos los vampiros huyen del sol Hay surfistas que no huyen del sol Por tanto, hay vampiros surferos ||
 * 1) Formaliza las premisas y la conclusión
 * 2) Representa gráficamente las premisas
 * 3) Decide si el razonamiento es válido o inválido, expresándolo con el símbolo de consecuencia lógica.
 * 1a
 * 2a.
 * 3a.
 * 4a.
 * 5a.
 * 6a.
 * 7a.
 * 8a.
 * 9a.
 * 10a.
 * 11a.
 * 12a.
 * 13a.
 * 14a.
 * 15a.
 * 16a.
 * 17a.
 * 18a.
 * 19a.
 * 20a.
 * 21a.
 * 22a.
 * 23a.
 * 24a.
 * 25a.
 * 26a.
 * 27a.
 * 28a.
 * 29a.
 * 30a.

=Lógica de proposiciones=

No todos los razonamientos válidos son razonamientos de la lógica de clases. Por ejemplo:
 * **Ejemplo 1.**

Lloverá o habrá tormenta

No lloverá

Por tanto, habrá tormenta || **Ejemplo 2.**

Si vendo la casa, podré comprar una moto e irme de viaje

Vendo la casa

Por tanto, podré irme de viaje ||

Si tratamos de averiguar si estos razonamientos son válidos o inválidos usando los conceptos de la lógica de clases, comprobamos que no podemos aplicarlos. En estos argumentos no hay elementos ni conjuntos. Las oraciones no se ajustan a ninguno de los esquemas que conocemos bien. Es necesaria **otra lógica** para analizar y resolver esta clase de razonamientos.

Conceptos básicos de la lógica de proposiciones

 * **Proposiciones atómicas o elementales**: enunciados (oraciones que son verdaderas o falsas) simples, enunciados cuya verdad o falsedad no puede analizarse en función de enunciados más simples que ellos. Por ejemplo:
 * //Mañana lloverá y nevará// **no es** una proposición **atómica**: podemos analizar que será verdadera si son verdaderas dos proposiciones más simples que aparecen en ella: //Mañana lloverá// y //Mañana nevará//. Y podemos analizar que será falsa si una cualquiera de esas dos proposiciones más simples es falsa.
 * //No lloverá mañana// **no es** una proposición **atómica**: su verdad o falsedad dependen de una proposición más simple que ella: //Lloverá mañana//. Si ésta última proposición es verdadera, su negación será falsa. Y si fuese falsa, su negación será verdadera. Por tanto, //No lloverá mañana// depende de //Lloverá mañana// y por eso no es una proposición atómica.
 * //Mañana lloverá// **es** una proposición **atómica**: su verdad o falsedad sólo depende de un hecho: que mañana llueva. No hay una oración más sencilla de la que dependa la verdad o falsedad de //Mañana lloverá//.


 * **Conectivas lógicas**: maneras de **combinar** la verdad o falsedad de proposiciones atómicas para calcular la verdad o falsedad de proposiciones complejas. Por ejemplo:
 * La conectiva **conjunción** sirve para calcular el **valor de verdad** (verdad o falsedad) de la proposición //Mañana lloverá **y** nevará.// Cuando //Mañana lloverá// es verdadera y //Mañana nevará// son **ambas verdaderas** la proposición conjunción de ambas es verdadera. En cambio, cuando **cualquiera de las dos es falsa**, la conjunción es falsa.
 * La conectiva **disyunción** permite calcular el valor de verdad de la proposición //Mañana lloverá **o** nevará.// Cuando //Mañana lloverá// es verdadera o bien //Mañana nevará// es verdadera. En cambio, cuando **ambas son falsas**, la disyunción es falsa.
 * La conectiva **negación** sirve para calcular el valor de verdad de la proposición //No quiero café//. Cuando //Quiero café// es verdadera, //No quiero café// es falsa y viceversa.

Definición formal de las conectivas lógicas
Cada conectiva lógica puede definirse de forma totalmente precisa haciendo uso del concepto de **función**. En matemáticas, empleamos rutinariamente el concepto de función //sobre números//. Por ejemplo, la función elevar al cuadrado la escribimos así: y = x² o así: f(x) = x². Pero el concepto general de función va más allá de las funciones numéricas.

En general, una función es un tipo especial de //relación entre los elementos de un conjunto//, cualquier conjunto. Por ejemplo, podemos definir la relación "día siguiente" entre los elementos del conjunto de los días de la semana:

siguiente(lunes) = martes, siguiente(martes) = miércoles, etc.

También podemos escribir la función y = siguiente(x) para los días de la semana **en forma de tabla**:
 * = **x** ||= **y** ||
 * = lunes ||= martes ||
 * = martes ||= miércoles ||
 * = miércoles ||= jueves ||
 * = jueves ||= viernes ||
 * = viernes ||= sábado ||
 * = sábado ||= domingo ||
 * = domingo ||= lunes ||

Y podemos generalizar el concepto de función a //funciones de más de un argumento//. Por ejemplo, la función z = f(x,y) = x² + y² toma dos argumentos. Otro ejemplo es la suma de colores según se sugiere en esta imagen y que podemos representar mediante la siguiente tabla:



O también así: suma(cian,cian) = cian, suma(cian,magenta) = azul, suma(cian,amarillo) = verde, etc.
 * = **Suma de colores** ||= cian ||= magenta ||= amarillo ||
 * = cian ||= **cian** ||= **azul** ||= **verde** ||
 * = magenta ||= **azul** ||= **magenta** ||= **rojo** ||
 * = amarillo ||= **verde** ||= **rojo** ||= **amarillo** ||

Si consideramos ahora el conjunto formado por **lo verdadero (V)** y **lo falso (F)**, es decir el conjunto **{V, F}**, podemos definir las conectivas lógicas como funciones sobre este conjunto. Funciones que toman como argumentos valores de verdad y devuelven como resultado otros valores de verdad.

Negación
La **negación** queda completamente definida con estas dos igualdades:
 * negación(V) = F
 * negación(F) = V

También podemos expresar la negación en forma de tabla:


 * = A ||= ** ¬A ** ||
 * V || ** F ** ||
 * F || ** V ** ||

Conjunción
Dado que la **conjunción** toma dos argumentos, son necesarias cuatro igualdades para que quede completamente definida: Resulta más compacta una definición en forma de tabla: A la vista de esta tabla, podemos responder a estas dos preguntas:
 * conjunción(V,V) = V
 * conjunción(V,F) = F
 * conjunción(F,V) = F
 * conjunción(F,F) = F
 * ** A ∧ B ** || B = V || B = F ||
 * = A = V ||= ** V ** ||= ** F ** ||
 * = A = F ||= ** F ** ||= ** F ** ||
 * 1) ¿Cuando es **A ∧ B = V**? Cuando **A = V** y **B = V**
 * 2) ¿Cuando es **A ∧ B = F**? Cuando **A = F** o bien **B = F**

Disyunción
Esta tabla define la **disyunción**:
 * ** A ∨ B ** || B = V || B = F ||
 * = A = V ||= ** V ** ||= ** V ** ||
 * = A = F ||= ** V ** ||= ** F ** ||
 * 1) ¿Cuando es **A ∨ B = V**? Cuando **A = V** o bien **B = V**
 * 2) ¿Cuando es **A ∨ B = F**? Cuando **A = F** y **B = F**

Implicación lógica
Consideremos la siguiente proposición compleja o molecular: //Si Pedro está en la fiesta, Juan también está en la fiesta//. Es claro que la verdad o falsedad de esta proposición depende de sus dos proposiciones simples:
 * 1) Pedro está en la fiesta
 * 2) Juan está en la fiesta

Pero, ¿cómo es esa dependencia? Analicemos los cuatro casos posibles:
 * Supongamos que Pedro está en la fiesta y que Juan también lo está. En ese caso la proposición //Si Pedro está en la fiesta, Juan también está// es **verdadera**, pues se ha producido la condición y también la consecuencia.
 * Supongamos que Pedro está en la fiesta pero que Juan **no** lo está. En ese caso la proposición //Si Pedro está en la fiesta, Juan también está// es **falsa**. Esta situación es justamente la que no debe suceder si alguien afirma que si Pedro está, Juan también está, pues se ha producido la condición pero no la consecuencia.
 * Supongamos que Pedro **no** está en la fiesta pero que Juan **sí** lo está. En ese caso la proposición //Si Pedro está en la fiesta, Juan también está// es **verdadera**. Quien afirma que si Pedro está, Juan también está, puede seguir manteniéndolo cuando Pedro no está pero Juan sí, pues la consecuencia puede producirse por otros factores, en otras condiciones.
 * Supongamos que Pedro no está en la fiesta y que Juan tampoco lo está. En ese caso la proposición Si Pedro está en la fiesta, Juan también está// es verdadera. Quien afirma que si Pedro está, Juan también está, puede seguir manteniéndolo cuando Pedro no está, pues a lo que él se compromete es a que si Pedro estuviera, entonces Juan también lo estaría.

En resumen, la **implicación** lógica se define según esta tabla:
 * ** A → B ** || B = V || B = F ||
 * = A = V ||= ** V ** ||= ** F ** ||
 * = A = F ||= ** F ** ||= ** V ** ||
 * 1) ¿Cuando es **A → B = V**? Cuando **A = F** o bien **B = V**
 * 2) ¿Cuando es **A → B = F**? Cuando **A = V** y **B = F**

**//Condiciones necesarias y condiciones suficientes.//**
Mediante la conectiva implicación podemos formalizar los conceptos de condición necesaria y condición suficiente.

Afirmar que algo (A) es **condición suficiente** para que otra cosa (B) es afirmar que si A sucede, B sucederá también (puesto que es suficiente con que suceda A para que suceda B). Por tanto, que A es condición suficiente para B queda formalizado con la fórmula ** A → B ** puesto que esta fórmula sólo es falsa cuando A es verdadero y B es falso. O dicho de otro modo, si A sucede, B sucede.

Afirmar que algo (A) es **condición necesaria** para que otra cosa (B) suceda es afirmar que si B sucede, podemos inferir que A ha sucedido también (puesto que A es necesario para B). Por tanto, la formalización de que A es condición necesaria para B es ** B → A ** puesto que esta fórmula sólo es falsa cuando B es verdadero y A es falso. Pero esto es justamente lo que negamos al afirmar que A es condición necesaria para B: si B sucede, A debe suceder también.

Equivalencia
Por último, la relación de **equivalencia** lógica entre dos proposiciones es verdadera cuando ambas proposiciones componentes coinciden en su valor de verdad. Es decir, si dos proposiciones son ambas verdaderas o ambas falsas, entonces son equivalentes, su equivalencia es verdadera. Por el contrario, si dos proposiciones difieren en sus valores de verdad (una es verdadera y la otra falsa), entonces la equivalencia entre ambas es falsa.

La siguiente tabla resume la relación de **equivalencia**:
 * ** A ↔ B ** || B = V || B= F ||
 * = A = V ||= ** V ** ||= ** F ** ||
 * = A = F ||= ** F ** ||= ** V ** ||
 * 1) ¿Cuando es **A ↔ B = V**? Cuando **A = V** y **B = V**. O bien cuando **A = F** y **B = F**
 * 2) ¿Cuando es **A ↔ B = F**? Cuando **A = V** y **B = F**. O bien cuando **A = F** y **B = V**


 * Resumen** de todas las definiciones de las conectivas proposicionales vistas:

Símbolos de la lógica de proposiciones
Para escribir las **fórmulas** de la lógica de proposiciones, emplearemos los siguientes símbolos:
 * Proposiciones atómicas || ** p, q, r, ... ** ||
 * = Conjunción ||= ** ∧ ** ||
 * = Disyunción ||= ** ∨ ** ||
 * = Implicación ||= ** → ** ||
 * = Equivalencia ||= ** ↔ ** ||
 * = Negación ||= ** ¬ ** ||

Fórmulas de la lógica de proposiciones
Podemos construir fórmulas combinando los símbolos de proposiones atómicas, los de conectivas y ayudarnos con paréntesis. No todas las combinaciones son fórmulas, **sólo** aquellas que cumplen las siguientes reglas:
 * Un símbolo de proposición atómica es una fórmula
 * Si A es una fórmula, **¬A** es también una fórmula
 * Si A y B son ambas fórmulas, **A ∧ B**, **A ∨ B**, **A → B** y **A ↔ B** son también fórmulas

Valor de verdad de una fórmula
A partir de los valores que toman las proposiciones atómicas y empleando las definiciones dadas para las conectivas, podemos **calcular** el valor de verdad de fórmulas complejas. Dada una fórmula cualquiera, si nos dan los valores de que tienen las proposiciones atómicas que aparecen en ella, sólo tenemos **sustituir** en la fórmula las variables por sus valores y calcular el resultado de las operaciones sobre estos valores.

Por ejemplo:
 * Si p=V y q=V, entonces ¬p = F; ¬p ∨ q = V; p ∧ ¬q = F; ¬p → q = V; ¬q → p = F y ¬p ↔ ¬q = V
 * Si p = V y q = F, entonces ¬q = V; ¬p ∨ q = F; p ∧ ¬q = V; ¬p → q = V; ¬q → ¬p = F y ¬p ↔ q = V

También podemos **deducir** los valores de verdad que han de tomar las proposiciones atómicas a partir del valor de verdad de fórmulas complejas. Dada una fórmula cualquiera **A**, podemos **resolver las ecuaciones** A = V o A = F hallando los valores que deben tomar las variables que aparecen en ella.
 * Si p → q = F, entonces p = V y q = F.
 * Pero si p → q = V, entonces hay varios valores posibles para p y q:
 * p = q = V
 * p = q = F
 * p = F y q = V
 * Si ¬p ∨ q = F, entonces ¬p = F y q = F, y si ¬p = F, entonces p = V
 * Si p ∧ ¬q = V, entonces p = V y ¬q = V, y si ¬q = V, entonces q = F


 * Ejercicios**

1. Calcula los valores de verdad de cada una de las siguientes fórmulas partiendo de que p=F y q=V:
 * ¬q. Si q=V, sustituyendo en la fórmula anterior: ¬V = F. El valor de la fórmula será F.
 * ¬p ∨ q
 * p ∧ ¬q
 * ¬p → q
 * ¬q → ¬p
 * ¬p ↔ q
 * p ∨ (q ∧ ¬p)
 * p → ¬p

2. Calcula los valores de verdad de cada una de las siguientes fórmulas partiendo de que p=F y q=F:
 * ¬(q ∨ ¬p). Sustituyendo q por F y p por F en la fórmula: ¬(F ∨ ¬F) = ¬(F ∨ V) = ¬V = F. El valor de la fórmula será F.
 * ¬p ∨ q
 * p → ¬q
 * ¬p → q
 * ¬q → ¬p
 * ¬(q ↔ p)
 * q ∨ ¬q
 * ¬(q → q)

3. Calcula los valores de verdad de cada una de las siguientes fórmulas partiendo de que todas sus proposiciones atómicas son verdaderas:
 * r → ¬(q ∨ ¬p). Sustituyendo las tres variables por el valor V: V → ¬(V ∨ ¬V) = V → ¬(V ∨ F) = V → ¬V = V → F = F.
 * (¬p ∨ q) ∧ r
 * (p → ¬q) ∧ ¬r
 * ¬((p ∨ r) → q)
 * ¬q ↔ (p → r)

4. Calcula los valores de verdad de cada una de las fórmulas del ejercicio 3 partiendo ahora de que todas sus proposiciones atómicas son falsas.

5. Deduce los valores de verdad de las proposiciones atómicas a partir de los valores asignados a las siguientes fórmulas complejas:
 * ¬q = V. Para que ¬q = V es necesario que q = F.
 * ¬p ∨ q = F
 * p ∧ ¬q = V
 * ¬p → q = F
 * ¬p ↔ q = V

6. Deduce los valores de verdad de las proposiciones atómicas a partir de los valores asignados a las siguientes fórmulas complejas:
 * ¬(q ∨ ¬p) = V
 * ¬(p ∧ ¬q) = F
 * p → ¬q = F
 * ¬p → p = V
 * ¬(q ↔ p) = F
 * q ∨ ¬q = V
 * ¬(q → q) = F

Tautologías, contradicciones y contingencias
Al calcular el valor de verdad de una fórmula, es interesante notar que toda fórmula posible cae dentro de una y sólo una de las siguientes tres clases:
 * Fórmulas contingentes o **contingencias**: son fórmulas que //pueden ser verdaderas o falsas//, dependiendo del valor de verdad de las proposiciones atómicas que haya en ellas. Por ejemplo, las fórmulas:
 * p ∨ p ; ¬p ; p → q son verdaderas o falsas según lo sean las fórmulas atómicas p y q.
 * Dicho de otro modo: una fórmula cualquiera **A** es **contingente** cuando podemos //resolver// las ecuaciones **A = V y A = F**.
 * Fórmulas tautológicas o **tautologías**: son fórmulas que son //siempre verdaderas//, que //nunca son falsas// cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones atómicas que haya en ellas. Por ejemplo, las fórmulas:
 * p ∨ ¬p ; p → p ; p → (q → p) son verdaderas tanto si p y q son verdaderas como si son falsas.
 * Dicho de otro modo: una fórmula cualquiera **A** es **tautológica** cuando //no podemos resolver// la ecuación **A = F**
 * Fórmulas contradictorias o **contradicciones**: son fórmulas que son //siempre falsas//, que //nunca son verdaderas// cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones atómicas que haya en ellas. Por ejemplo, las fórmulas:
 * p ∧ ¬p ; ¬(p → p) ; (p ∨ ¬p) → (q ∨ ¬q) son falsas tanto si p y q son verdaderas como si son falsas.
 * Dicho de otro modo: una fórmula cualquiera **A** es **contradictoria** cuando //no podemos resolver// la ecuación **A = V**.

7. Clasifica como contingencias, tautologías o contradicciones las siguientes fórmulas:
 * Ejercicios**
 * ¬(p ∨ ¬p)
 * ¬p ∨ q
 * ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
 * (p → q) ∧ (p ∧ ¬q)
 * ¬p ↔ ¬p
 * p ↔ ¬q
 * q → ¬q

Formalización de razonamientos
Una vez conocido el lenguaje formal de la lógica de proposiciones, podemos demostrar rigurosamente la validez de los argumentos puestos como ejemplos al inicio de esta sección. //No lloverá//
 * ~ Razonamiento ||~ Formalización ||~ Clave de la formalización ||~ Análisis de validez del razonamiento ||
 * //Lloverá o habrá tormenta//

//Por tanto, habrá tormenta// ||= p ∨ q ¬p

q || Lloverá //: p//

Habrá tormenta //: q// ||= ¿Es posible que p ∨ q = V y ¬p = V y al mismo tiempo que q = F ? || //Vendo la casa//
 * //Si vendo la casa, podré comprar una moto y podré irme de viaje//

//Por tanto, podré irme de viaje// ||= p → (q ∧ r) p

r || //Vendo la casa//: p //Podre comprar una moto//: q

//Podré irme de viaje// : r ||= ¿Es posible que p → (q ∧ r) = V y p = V y al mismo tiempo que r = F? || //No tengo salud//
 * //Si como sano y hago ejercicio, tendré salud//

//Así que no hago ejercicio.// ||= (p ∧ q) → r ¬r

¬q || //Como sano// : p //Hago ejercicio// : q

//Tendré salud// : r ||= ¿Es posible que (p ∧ q) → r = V y ¬r = V y al mismo tiempo que ¬q = F ? ||

¿Es posible que p ∨ q = V y ¬p = V pero q = F ? ¿Es posible encontrar una solución para este **sistema de ecuaciones**?
 * Análisis del primer ejemplo**
 * 1) p ∨ q = V
 * 2) ¬p = V
 * 3) q = F

Igual que los sistemas de ecuaciones matemáticas, resolver este sistema consiste en hallar los valores de las variables que aparecen en él. E igual que los sistemas de ecuaciones matemáticas, podemos empezar a resolverlo por la ecuación que queramos.


 * q = F . Esta ecuación no necesita ningún desarrollo, pues la variable que aparece en ella tiene un valor.
 * ¬p= V ==> p = F (hemos hallado el valor de la variable p)
 * p ∨ q = V ==> F ∨ F = V (sustituyendo p por F y q por F, hallados en las dos ecuaciones anteriores). La ecuación resultante contiene un error, pues F ∨ F es igual a F, no a V, según la tabla que define la conectiva disyunción.

No hay solución al sistema planteado. Así pues, es //imposible// hacer a las dos premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Ha quedado demostrado que **//hay relación de consecuencia lógica//** entre premisas y conclusión: **{ p ∨ q, ¬q } |= p** ¿Es posible que p → (q ∧ r) = V y p = V pero r = F? Veamos el sistema de ecuaciones:
 * Análisis del segundo ejemplo**
 * 1) p → (q ∧ r) = V
 * 2) p = V
 * 3) r = F

Para resolverlo, basta sustituir los valores de p y r (ya despejados en las ecuaciones 2 y 3) en la ecuación 1:
 * 1) p → (q ∧ r) = V ==> V → (q ∧ F) = V ==> q ∧ F = V (Si la implicación es V y su condición es V, es forzoso que la consecuencia sea V también).

Pero la ecuación q ∧ F = V **no tiene solución**. Al ser una conjunción con valor V, requiere que ambos factores sean V, pero uno es F.

Es //imposible// hacer a las dos premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Ha quedado demostrado que **//hay relación de consecuencia lógica//** entre premisas y conclusión: **{ p → (q ∧ r), p } |= r** ¿Es posible que (p ∧ q) → r = V y ¬r = V pero ¬q = F ? Veamos el sistema de ecuaciones:
 * Análisis del tercer ejemplo**
 * 1) (p ∧ q) → r = V
 * 2) ¬r = V
 * 3) ¬q = F

En las ecuaciones 2 y 3 podemos despejar fácilmente los valores de r y q: Para a continuación sustituir estas variables en la ecuación 1:
 * ¬r = V ==> r = F
 * ¬q = F ==> q = V
 * (p ∧ q) → r = V ==> (p ∧ V) → F = V ==> p ∧ V = F (si la implicación es V y su consecuencia F, sólo queda que su condición sea también F). La ecuación p ∧ V = F ==> p = F (si la conjunción es V y uno de sus factores es V, el otro ha de ser F).

Esta vez es //posible// hacer verdaderas a las dos fórmulas premisas y al mismo tiempo hacer falsa a la conclusión. El sistema planteado **tiene solución**, las variables toman los siguientes valores de verdad: **p = F ; q = V ; r = F**. Con estos valores, las tres ecuaciones se cumplen sin errores.

Por tanto, ha quedado demostrado que **//no hay relación de consecuencia lógica//** entre premisas y conclusión: **{ (p ∧ q) → r, ¬r } |≠ ¬q**

Ecuaciones lógicas
La **técnica** empleada para analizar los anteriores ejemplos y demostrar que la conclusión se deduce (o no se deduce) de las premisas se puede resumir en los siguientes **pasos**:
 * 1) Plantear un **//sistema de ecuaciones lógicas//** compuesto por:
 * 2) Una ecuación para cada fórmula premisa, asignándola el valor verdadero (**V**)
 * 3) Una ecuación para la fórmula conclusión, asignándola el valor falso (**F**)
 * 4) Tratar de //**resolver el sistema de ecuaciones**//. Es decir, tratar de //**hallar los valores de las variables** proposicionales// que cumplen dicho sistema. Para ello aplicamos repetidas veces estas dos operaciones:
 * Podemos **hallar** el valor de una variable aplicando la tabla de verdad de la conectiva principal que aparecen en una ecuación.
 * Por ejemplo, en la ecuación p → q = F podemos hallar que p = V y que q = F
 * Por ejemplo, en la ecuación p ∧ q = V podemos hallar que p = V y que q = V
 * Podemos **sustituir** en una ecuación una variable por su valor, si lo conocemos.
 * Por ejemplo, si conocemos que la variable p = V, podemos sustituirla en la ecuación (p ∧ q) → r = V y producir la nueva ecuación (V ∧ q) → r = V
 * Por ejemplo, si conocemos que p = V y que q = F, podemos sustituirlas en la ecuación (p ∧ q) → r = V y producir la nueva ecuación (V ∧ F) → r = V.
 * Estas dos operaciones son aplicadas **repetidas** veces, produciendo ecuaciones cada vez más simples **hasta** llegar a ecuaciones elementales que asignan un valor de verdad (V o F) a una variable proposicional.
 * 1) **Si logramos resolver** el sistema de ecuaciones, habremos demostrado que **no hay relación de consecuencia lógica** entre premisas y conclusión, puesto que hemos podido hacer verdaderas a las primeras y falsa a la segunda.
 * Logramos resolver un sistema de ecuaciones lógicas cuando hallamos los valores de todas sus variables que logran cumplir todas las ecuaciones del sistema sin violar la definición de ninguna conectiva lógica.
 * 1) Por el contrario, **si no logramos resolver** el sistema de ecuaciones, habremos demostrado que **sí hay relación de consecuencia lógica** entre premisas y conclusión: no es posible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa.
 * No logramos resolver un sistema de ecuaciones lógicas cuando sucede una de estas dos situaciones:
 * Una misma variable debe tomar valores distintos en distintas ecuaciones del sistema.
 * La definición de una conectiva (su tabla de verdad) no se cumple en alguna ecuación del sistema.

=Cálculo de deducción natural=

El cálculo de deducción natural es **otra técnica** para demostrar que una fórmula se deduce lógicamente de una teoría. A diferencia de la técnica anterior, que explora las condiciones en las que las fórmulas son verdaderas o falsas, esta nueva técnica se fija en la **forma lógica** de las fórmulas.

media type="custom" key="28848862" Resumen de todas las reglas del cálculo de deducción natural:

Estructura de una demostración
Una demostración es una //secuencia finita de pasos de demostración//. Cada paso de demostración consiste en:
 * 1) Un **número** de orden. Toda demostración empieza en el paso número 1.
 * 2) Una **fórmula**.
 * 3) Una **justificación** de la fórmula. Esta justificación puede de una de las tres siguientes:
 * 4) La fórmula es una premisa de la teoría.
 * 5) La fórmula resulta de la aplicación de una regla de deducción sobre fórmulas previas en la secuencia de demostración.
 * 6) La fórmula es un supuesto.

Inicio y terminación de una demostración
Una demostración termina cuando llegamos a la fórmula que queremos probar. Mientras no llegamos a esa fórmula, añadiremos nuevos pasos a la demostración en curso.

Una demostración típica es una secuencia que se inicia con las fórmulas premisas y tiene como última fórmula de la conclusión del argumento. Por ejemplo, para demostrar que:

**{ p → (q ∧ r), p } |-- r** La demostración tendrá el siguiente aspecto general:

1. p → (q ∧ r) .............. Premisa de la teoría 2. p ............................. Premisa de la teoría ... ... ... n. r

Estrategias de demostración
El cálculo de deducción natural proporciona un pequeño conjunto de reglas pero **ninguna indicación precisa** de qué regla aplicar en cada paso de demostración: el demostrador puede **elegir** aplicar cualquiera de las reglas disponibles sobre cualquiera de las fórmulas de los pasos anteriores.

Cuando la demostración es particularmente sencilla, logramos llegar a la conclusión simplemente aplicando las pocas reglas que pueden aplicarse a las premisas. Por ejemplo, la demostración esbozada anteriormente puede completarse con un par de pasos intermedios:

1. p → (q ∧ r) .............. Premisa de la teoría 2. p ............................. Premisa de la teoría 3. q ∧ r ....................... Eliminación implicación 1, 2 4. r ............................. Eliminación conjunción 3

Pero en la mayor parte de los casos, la demostración no es tan simple y es necesaria alguna guía general antes de comenzar a dar pasos de demostración. Dado que el objetivo de toda demostración es llegar a la fórmula conclusión, //dependiendo del tipo de fórmula que queramos demostrar// podemos plantear una u otra **estrategia**.

Estrategia para demostrar una conjunción
Para demostrar una conjunción, tratamos primero de llegar a cada una de las dos sub-fórmulas que la componen, para a continuación aplicar la regla de introducción de la conjunción sobre ellas.

Ejemplo: { p → (q ∧ r), q → r, p } |-- q ∧ r

1. p → q ............... Premisa 2. q → r ................ Premisa 3. p ....................... Premisa 4. q ....................... Eliminación implicación 1, 3 5. r ........................ Eliminación implicación 2, 4 6. q ∧ r .................. Introducción conjunción, 4, 5

Estrategia para demostrar una implicación
Para demostrar una implicación, comenzamos por //introducir como supuesto// la fórmula condición de la implicación y tratamos de llegar a la fórmula consecuencia para a continuación aplicar la regla de introducción de la implicación.

Ejemplo: { p → (¬q ∧ r), s} |-- p → (¬q ∧ s)

1. p → (¬q ∧ r) .......... Premisa 2. s ............................ Premisa --- 3. p ....................... Supuesto --- 4. ¬q ∧ r ............... Eliminación implicación 1,3 --- 5. ¬q .................... Eliminación conjunción 4 --- 6. ¬q ∧ s .............. Introducción conjunción 2,5 7. p → (¬q ∧ s) ......... Introducción implicación 3-6

Estrategia para demostrar una negación
Para demostrar una fórmula negada (¬A), debemos llegar a una implicación que tenga como condición a esa fórmula sin negar (A) y como consecuencia una conjunción de una fórmula cualquiera (B) y su negación (¬B). Es decir, debemos conseguir la implicación: A → (B ∧ ¬B). A su vez, para conseguir esta implicación debemos aplicar la estrategia que conduce a obtener una implicación: debemos introducir la fórmula A como supuesto y llegar a la fórmula B ∧ ¬B.

Ejemplo: { p → q, (r ∨ p) → ¬q} |-- ¬p

1. p → q .................... Premisa 2. (r ∨ p) → ¬q ........... Premisa --- 3. p ....................... Supuesto --- 4. q ....................... Eliminación implicación 1,3 --- 5. r ∨ p .................. Introducción disyunción 3 --- 6. ¬q ..................... Eliminación implicación 2,5 --- 7. q ∧ ¬q ............... Introducción conjunción 4,6 8. p → (q ∧ ¬q) .......... Introducción implicación 3-7 9. ¬p .......................... Introducción negación 8

=Ejercicios de lógica proposicional=

En cada uno de estos ejercicios se deben realizar los siguientes sub-ejercicios:
 * 1) Representa mediante fórmulas de la lógica proposicional las premisas y la conclusión.
 * 2) Analiza si es posible que la premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
 * 3) Decide si el razonamiento es válido o inválido a la vista del anterior análisis.
 * 4) En caso de que sea válido, construye una demostración en el cálculo de deducción natural. Están marcadas con un asterisco (*) las demostraciones más **complejas**.

1. Si los españoles son europeos, los holandeses también lo son; los españoles son europeos. Por consiguiente, los holandeses también son europeos.

2. Si Sevilla está en Andalucía, Barcelona está en Cataluña; Barcelona está en Cataluña. Luego Sevilla está en Andalucía.

3. Si la niebla en Londres tiene cierto encanto, pasarás frío o tendrás un desagradable encuentro con Jack. La niebla en Londres tiene cierto encanto. Por consiguiente, pasarás frío o tendrás un desagradable encuentro con Jack.

4. Si París es la capital de Francia, Madrid es la capital de España. París no es la capital de Francia. En consecuencia, Madrid no es la capital de España.

5. Pasarás frío o tendrás un desagradable encuentro con Jack, si consideras que la niebla de Londres tiene encanto, que lo tiene. Así que pasarás frío.

6. Juan no llora pero gimotea siempre que Luisa se marcha. Luisa se marcha. Por tanto, Juan no llora aunque gimotea.

7*. O el testigo no dice la verdad o Juan estaba en la casa antes de cometerse el crimen. Si Juan estaba en su casa antes de cometerse el crimen, vio al criminal. Si vio al criminal, sabe que no pudo ser el mayordomo. Por tanto, si el testigo dice la verdad, Juan sabe quién estuvo antes y sabe que no fue el mayordomo.

8*. O bien el amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o bien el amor es ciego y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.

9*. Si Guillermo estudia, obtiene buenas notas. Si no estudia, lo pasa bien en el colegio. Si no saca buenas notas, no lo pasa bien en el colegio. Así pues, Guillermo obtiene buenas notas.

10*. O Juan va a París o no se queda en casa. Si viaja en barco, no va a París. Por consiguiente, si Juan se queda en casa, no viaja en barco.

11*. Si Cuba no abandona el comunismo, EEUU no suspenderá el bloqueo. O Cuba no abandona el comunismo o encuentra aliados en oriente. Si Cuba encuentra aliados en oriente, la economía cubana no se recuperará. Por tanto, no es cierto que, EEUU suspenda el bloqueo y la economía cubana se recupere.

12*. No puede suceder a la vez que Serbia declare su independencia y Croacia no lo haga. Si Serbia declara su independencia, Yugoslavia tomará medias. Si Croacia declara su independencia, Yugoslavia no tomará medidas. Así pues, Serbia no declarará su independencia.

13*. Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis. Cuando juega al tenis, juega al fútbol. No juega al fútbol. Por tanto, Eduardo juega al baloncesto.

14. Si la tormenta continúa o anochece, nos quedamos a cenar o a dormir. Si nos quedamos a cenar o a dormir, no iremos mañana al concierto. Pero sí iremos al concierto. Por tanto, la tormenta no continúa.

15*. Si no es cierto que se puede ser rico y dichoso a la vez, entonces la vida está llena de frustraciones y no es un camino de rosas. Si se es feliz, no se puede tener todo. Por consiguiente, la vida está llena de frustraciones.

16. Si el tren llega a las 7 y no hay taxis en la estación, entonces Juan llegará tarde a la reunión. Juan no ha llegado tarde a la reunión. El tren llegó a las 7. Por tanto, había taxis en la estación.

17. Si hay corriente y la lámpara no está fundida, entonces está encendida. La lámpara no está encendida. Hay corriente. Por tanto, la lámpara está fundida.

18. Si Juan es andaluz, entonces Juan es europeo. Juan es europeo. Por tanto, Juan es andaluz.

19. Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.

20. Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 10.

21. Si Carlos no está en la barbería, entonces ocurrirá que si tampoco está Alberto, Benito tendrá que estar para atender el establecimiento. Si Alberto no está, tampoco estará Benito. Luego Carlos no puede estar ausente.

22. Siempre que canto, llueve. Hoy no cantaré. Luego hoy no lloverá.

23. Es necesario dormir para roncar. Oigo ronquidos y me desvelo. Luego alguien duerme y yo no consigo dormir.

24*. Que llueva y haga sol son condiciones necesarias para tener una buena cosecha. Basta con que haga sol para que el turismo se anime. O evitamos el calentamiento global o no llueve. Tenemos una buena cosecha. En conclusión, el turismo se anima y evitamos el calentamiento global.

25. Cuando quieres, tienes tiempo. Si tienes tiempo, puedes. Así pues, si quieres puedes.

26. Cuando me calzo el pie derecho, me calzo también el pie izquierdo. Cuando tengo desnudo el pie derecho, tengo mala suerte. Cuando me calzo el izquierdo también. O me calzo el pie derecho o no me lo calzo. En conclusión, tengo mala suerte.

27*. Viajar con Ryanair equivale a llevarse un disgusto. Si te llevas un disgusto, no disfrutas del viaje y discutes con la azafata. Pero no discutes con la azafata. Por tanto, no viajas con Ryanair.

28. Si viajas de noche, llegarás antes o no llegarás nunca. Tanto si quieres como si no, viajarás de noche. Por tanto, no llegarás nunca.

29. Consigo llegar a tiempo cuando voy en metro y salgo con tiempo suficiente. Voy en metro y nunca llego nervioso a mis citas. Cuando no salgo con tiempo suficiente voy nervioso a mis citas. En conclusión, consigo llegar a tiempo.

30*. Cuando jugamos con cartas marcadas siempre pierdo y además me enfado. Pero cuando jugamos con una baraja legal, no me enfado aunque también pierdo siempre. O jugamos con una baraja marcada o con una baraja legal. En definitiva, pierdo siempre.

31*. María se salvará si Pedro paga y Nuria no habla con la policía. Pedro paga si y sólo si tiene suficiente dinero en casa. Si a Nuria le entra miedo, hablará con la policía. Pedro tiene dinero suficiente y a Nuria no le entra miedo. En consecuencia, María se salvará.

=Razonamientos correctos y razonamientos válidos=

Un razonamiento es **correcto** cuando:
 * 1) Partimos de premisas verdaderas
 * 2) Llegamos a una conclusión que es necesariamente verdadera

Por tanto, la corrección de un razonamiento depende de **dos factores**:
 * 1) Que las premisas sean verdaderas
 * 2) Que la conclusión sea consecuencia lógica de las premisas

Estos dos factores son **independientes**: un razonamiento puede partir de premisas verdaderas pero //no llegar a una conclusión necesariamente verdadera//. Por ejemplo:
 * 1) //Algunos animales son carnívoros. Algunos carnívoros son peligrosos. Por tanto, algunos animales son peligrosos.//
 * 2) //Si está nublado, no brilla el sol. No es cierto que Cervantes descubriese América. Por tanto, Cervantes escribió "Don Quijote de La Mancha".//
 * 3) //O bien el verano es caluroso o bien el invierno es frío. El invierno es frío. Por tanto el verano es caluroso.//

Aunque la conclusión //Algunos animales son peligrosos// es verdadera, y también lo son las dos premisas, es sencillo demostrar en lógica de clases que la conclusión //no se sigue necesariamente de las premisas//: podría ser falsa siendo aún verdaderas las premisas. No es necesario sino **//contingente//** que la conclusión resulte verdadera por ser verdaderas las premisas. Lo mismo sucede con el segundo y el tercer ejemplos: tanto las premisas como la conclusión son verdaderas, pero es sencillo demostrar en lógica de proposiciones que //**no hay relación de consecuencia lógica**// entre premisas y conclusión. Los razonamientos no son correctos porque falla el segundo factor: la conclusión no es necesariamente verdadera aunque lo sean las premisas.

Un razonamiento también puede ser incorrecto porque lo que falle sea la verdad de alguna de las premisas. Por ejemplo:
 * //Todas las estrellas brillan. Todos los diamantes son estrellas. Por tanto, todos los diamantes brillan.//
 * //Si hay petróleo en Seseña, Seseña aumentará su población. Hay petróleo en Seseña. Por tanto, Seseña aumentará su población.//

Estos dos razonamientos siguen las leyes de la Lógica. Si los analizamos veremos que si las premisas //fuesen// todas verdaderas, la conclusión //sería// necesariamente verdadera. Pero los razonamientos no son correctos porque una de sus premisas es falsa y por tanto la conclusión no es necesariamente verdadera. Podemos decir que estos dos razonamientos //serían// correctos si las premisas //fuesen// verdaderas. A esta corrección, que podemos llamar "corrección condicional" la llamamos **validez formal**.

Validez formal
Un razonamiento es **formalmente válido** cuando, //aceptando//, //suponiendo//, que las premisas sean verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. La Lógica es la ciencia que se ocupa de que la verdad se transmita de las premisas a la conclusión y no por causalidad, sino por necesidad. De ella depende decidir si hay consecuencia lógica. Depende de otras ciencias asegurar que las premisas empleadas sean verdaderas.

Hay razonamientos formalmente válidos pero no correctos: el razonamiento sigue las leyes de la Lógica pero algunas o todas las premisas son falsas, y por tanto la conclusión no tiene por qué ser verdadera.

Hay razonamientos formalmente inválidos pero en los que la conclusión es verdadera: casualmente la conclusión es verdadera, pero no porque haya una relación de consecuencia lógica entre las premisas y la conclusión.

Razonamientos falaces (falacias)
Las técnicas estudiadas en la lógica de clases y en la lógica de proposiciones permiten decidir si un razonamiento es formalmente válido o es formalmente inválido. Nuestro conocimiento de otras ciencias nos permite saber si las premisas son verdaderas. Si **ambos** ingredientes se cumplen, el razonamiento es **correcto**: //sabemos// que la conclusión es verdadera porque:
 * 1) //Sabemos// que las premisas son verdaderas
 * 2) Hemos //demostrado// que hay relación de consecuencia lógica de las premisas a la conclusión.

Cuando tenemos dudas o sabemos de hecho que no se cumple una cualquiera de estas dos condiciones, sabemos que el razonamiento es incorrecto. Por ejemplo, nadie diría que la conclusión de estos dos razonamientos es necesariamente verdadera:
 * //El cielo es azul. La sangre roja. Por tanto, mañana lloverá.//
 * //Todos los barcos tienen hélices. Mi regalo tiene hélices. Por tanto, mi regalo es un barco.//

Basta prestar un poco de atención a lo que leemos para dudar de que las conclusiones sean verdaderas. En el primer caso, aunque las premisas son verdaderas, no hay ninguna relación lógica entre premisas y conclusión. En el segundo, esa relación no es lógicamente válida: las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión puede ser falsa.

Sin embargo, en ocasiones un razonamiento incorrecto //parece correcto//. A esos razonamientos incorrectos se les denomina **falacias**.

Falacias formales
Una falacia formal es un razonamiento incorrecto que puede parecer correcto a quien no sabe Lógica, pues en una falacia formal son las leyes de la Lógica las que no se cumplen, pero //parecen// cumplirse.

Ejemplos de falacias lógicas:
 * //Si bebo no puedo conducir. No puedo conducir. Por tanto, he bebido//. El razonamiento es falaz puesto que, en general:
 * **{ p → ¬q, ¬q } |≠ p**. En cambio, un razonamiento similar sí es válido: **{ p → ¬q, q } |= ¬p**
 * //Si gano la lotería, me alegraré. No gano la lotería. Por tanto, no me alegraré//. El razonamiento es falaz puesto que, en general:
 * **{ p → q, ¬p } |≠ ¬q**. En cambio, un razonamiento similar sí es válido: **{ p → q, p } |= q**
 * //Cuando apruebo recibo regalos. Recibo regalos. Luego he aprobado//. El razonamiento es falaz puesto que, en general:
 * **{ p → q, q } |≠ p**. En cambio, un razonamiento similar sí es válido: **{ p → q, ¬q } |= ¬p**
 * //Tengo casa en la playa o en la montaña. Tengo casa en la montaña//. //Por tanto, no tengo casa en la playa//. El razonamiento es falaz puesto que, en general:
 * **{ p ∨ q, q } |≠ ¬p**. En cambio, un razonamiento similar sí es válido: **{ p ∨ q, ¬q } |= p**

Falacias materiales
Una falacia material es un razonamiento incorrecto porque entre sus premisas hay información que creemos verdadera y nos //parece// suficiente para afirmar la conclusión. Las falacias materiales más frecuentes son:
 * Confundir la relación //temporal// antes-después con la relación //lógica// de consecuencia premisas-conclusión o con la relación //física// causa-efecto.
 * Desprestigiar a quien dice el argumento para así dudar de la corrección del argumento.
 * Incluir entre las premisas a la propia conclusión.
 * Generalizar sin tener datos o casos suficientes.
 * Basar el argumento en la autoridad, el prestigio o la fama en lugar de hacerlo en los hechos.
 * Confundir la falta de pruebas sobre la verdad de algo con tener prueba de que ello es falso.
 * Confundir el apoyo de la mayoría con que lo apoyado sea cierto.
 * Confundir el que algo se repite a menudo con que lo repetido sea cierto.

=Exámenes y ejercicios resueltos=